১৪৭ কে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

কোনো সংখ্যাকে পূর্ণবর্গ বানানোর জন্য গুণ প্রক্রিয়ায়, যে মৌলিক গুণনীয়কগুলো জোড়াবিহীন থাকে, সেগুলোর গুণফল দ্বারা সংখ্যাটিকে গুণ করতে হয়।

১৪৭ এর মৌলিক গুণনীয়কগুলো হলো: ১৪৭ = ৩ $\times$ ৭ $\times$ ৭

১৪৭ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করে পাই: ১৪৭ = ৩ $\times$ ৭ $\times$ ৭ এখানে, ৭ এর একটি জোড়া আছে। কিন্তু একটি ৩ জোড়াবিহীন অবস্থায় আছে। পূর্ণবর্গ সংখ্যা হওয়ার জন্য জোড়াবিহীন মৌলিক গুণনীয়ক ৩ দ্বারা ১৪৭ কে গুণ করতে হবে। সুতরাং, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ৩।

৩৮৪ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করে পাই: ৩৮৪ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ = (২ × ২) × (২ × ২) × (২ × ২) × ৩ এখানে, ২ এর তিনটি জোড়া আছে। কিন্তু একটি ৩ জোড়াবিহীন অবস্থায় আছে। পূর্ণবর্গ সংখ্যা হওয়ার জন্য জোড়াবিহীন মৌলিক গুণনীয়ক ৩ দ্বারা ৩৮৪ কে গুণ করতে হবে। সুতরাং, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ৩। ৩৮৪ × ৩ = ১১৫২। ১১৫২ এর মৌলিক গুণনীয়কগুলো হলো: ১১৫২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = (২ × ২) × (২ × ২) × (২ × ২) × (৩ × ৩) $\sqrt{১১৫২} = ২ \times ২ \times ২ \times ৩ = ২৪$। যেহেতু ১১৫২ এর বর্গমূল ২৪ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, তাই ১১৫২ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।